Джику — воспитанник клуба «Бастия». 18 декабря 2013 года в поединке Кубка французской лиги против «Эвиана» Александер дебютировал за основной состав. 3 декабря 2014 года в матче против «Эвиана» он дебютировал в Лиге 1. 21 декабря 2016 года в поединке против марсельского «Олимпика» Александер забил свой первый гол за «Бастию». Летом 2017 года Джику перешёл в «Кан», подписав контракт на 4 года. 5 августа в матче против «Монпелье» он дебютировал за новый клуб. 20 апреля 2019 года в поединке против «Ниццы» Александер забил свой первый гол за «Кан».

Летом 2019 года Джику перешёл в «Страсбур». Сумма трансфера составила 4,5 млн евро. 11 августа в матче против «Меца» он дебютировал за новый клуб. 9 февраля 2020 года в поединке против «Реймса» Александер забил свой первый гол за «Страсбур».